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quotientenregel - dorfuchs lyrics

[songtext zu „quotientenregel“]

[strophe 1]
ein wichtiges thema in mathe – das kann man nicht abstreiten
ist -n-lysis und dabei auch das ableiten
denn damit findet man die steigung des funktionsgraphen
und es kann durchaus sein, d-ss wir eine funktion haben
die wiederum aus nem quotienten besteht
wenn man die ableiten kann, bleibt nur noch die frage, wie das geht:
wir nennen die funktion im nenner einfach mal v
und die im zähler noch u. dann ist die ableitung genau:

[refrain]
u strich v minus u v strich durch v quadrat
u strich v minus u v strich durch v quadrat
u strich v minus u v strich durch v quadrat
die ableitung von u durch v ist:
u strich v minus u v strich durch v quadrat

[strophe 2]
wenn ihr das ganze an nem beispiel seht
dann glaub ich mal, d-ss ihr besser versteht, wie das geht
so wie x quadrat plus 1 geteilt durch x minus 2
und mit dem u dort oben und dem v da unten ist dabei
halt die ableitung von u 2x und die von v ist 1
jetzt setzten wir das in die quotientenregel ein:
u’v ist dann halt 2x mal x minus 2
minus uv’ macht minus x quadrat plus 1. einwandfrei

im nenner v quadrat ist x minus 2 hoch 2
und jetzt ist das schon unsere ableitung, wobei
wir noch vereinfachen können, wenn wir im zähler die klammern wegl-ssen
und dann noch die terme mit dem x quadrat zusammenf-ssen
und jetzt steht hier unsere ableitung da
mit der quotientenregel ist die ganze rechnerei klar
entweder hast du halt ein tafelwerk, worin die regel steht
oder du denkst an diesen song und weißt: die regel geht

[strophe 3]
und jetzt der beweis:
sagen wir mal, wir hätten zwei funktionen
die heißen u und v und weiterhin würde es sich lohnen
wenn beide differenzierbar und v niemals 0 wäre
denn kommt uns garantiert nichts in die quere
wenn wir u durch v teilen und die funktion dann f nennen
jetzt suchen wir davon die ableitung – die solltest du kennen:
als den grenzwert des differenzenquotienten
f von x+h minus f von x durch h und jetzt wenden

wir an, d-ss f ja grade u geteilt durch v ist
und wenn ich das einsetze und danach genau schau, ist
das doch bruchrechnung – also rechnen wir das halt aus
und dann kommt da eben dieser bruch hier raus
wenn wir im zähler einfach u mal v subtrahieren
und danach wieder addieren, wird dadurch auch nichts p-ssieren
und das h schreiben wir jetzt einfach mit in den nenner
und das zeug mit dem v davor – da sieht man schneller:

da v differenzierbar ist, ist v auch stetig
also konvergieren die funktionswerte und es bestätigt
sich der eindruck, d-ss sich einfach 1 durch v quadrat ergibt
was man ja für die formel braucht, so d-ss es sinn ergibt
wenn wir das stehen l-ssen und uns nur noch um den großen bruch kümmern
den wir erst aufteilen und jetzt würden wir alles verschlimmern
wenn wir im zweiten bruch die differenz einfach mal umdrehen
denn das ändert das vorzeichen, doch wenn wir’s nochmal umdrehen
stimmt’s wieder. und jetzt klammern wir aus:
einmal v, einmal u, es kommt das hierbei raus
… und? fällt dir was auf?
da tauchen differenzenquotienten auf!

und zwar einmal von u und einmal v
und die grenzwerte sind jeweils die ableitung – genau
und schon steht hier halt unser ergebnis parat:
u’v minus uv’ geteilt durch v quadrat!

- dorfuchs lyrics

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