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kombinatorik - dorfuchs lyrics

[songtext zu „kombinatorik“]

[part 1]
hier geht es jetzt um kombinatorik, oder genauer gesagt
darum, wie viele möglichkeiten man insgesamt hat
wenn man k-mal aus n elementen wählt
doch bevor man sich gleich mit der allgemeinheit quält
machen wir das mal zumindest halbwegs alltagsrelevant
am beispiel fahrradzahlenschloss – wahrscheinlich jedem bekannt
hier kann man 5 stellen verdrehen und wir fragen uns nun:
wie viele möglichkeiten gibt es, dies zu tun?

nun: wie viele möglichkeiten gibt es für die erste stelle? zehn
und für die zweite stelle? zehn
und für die dritte stelle? zehn
und für die vierte? na zehn
und für die fünfte ebenfalls zehn
das macht insgesamt 10 mal 10 mal 10 mal 10 mal 10
also 10 hoch 5, gleich hunderttausend und man kann sehn’:
kann man an k stellen allgemein aus n optionen wählen
wird man n hoch k möglichkeiten dafür zählen
soweit alles verstanden? … ok

[part 2]
nächstes beispiel: 8 läufer beim 100-m-sprint
die frage ist jetzt nicht nur, wer von denen gewinnt
sondern wir schauen uns jetzt die komplette reihenfolge an
und wollen wissen, auf wie viele art und weisen es sein kann
d-ss die im ziel ankommen und dadurch ne reihenfolge entsteht
das nennt man permutation und das geht
ebenfalls nach dem prinzip, d-ss man sich nacheinander fragt
wie viele möglichkeiten man an jeder stelle jeweils hat:

als erster platz kommt einer der 8 läufer an
doch weil der ja nicht gleichzeitig zweiter werden kann
gibt es erstmal nur noch 7 optionen, wobei
es danach 6 gibt, dann 5, 4, 3 und dann 2
und für den letzten platz bleibt dann nur noch eine option
macht also 8 fakultät und bei einer permutation
von genau n elementen wird das n fakultät

doch was ist eigentlich, wenn es uns nur darum geht
wie viele möglichkeiten man für die medaillen plätze hat?
das geht eigentlich genauso, wie bisher, doch anstatt
das bis zum letzten platz zu machen, geht man nur bis platz 3
also 8 mal 7 mal 6 ist hier die antwort, wobei
das allgemein auch geht, wenn ich k-mal aus n kugeln ziehe
für die erste kugel gibt’s dann erstmal n viele
möglichkeiten und für jede weitere kugel eine weniger
und das ganze k-mal und jetzt steht hier ja
im wesentlichen so etwas wie n fakultät
nur d-ss nach den ersten k faktoren dann der rest fehlt
doch dividiert man nun mit n minus k fakultät
ist der rest, der hier steht, genau das, worum’s geht

[part 3]
okay. unser letztes beispiel soll jetzt lotto sein:
da kreuzt man hier 6 zahlen an auf dem lottoschein
und die frage, die man sicherlich schon kommen sieht
ist wie viele kombinationen es hier gibt

beim ersten kreuz kann ich aus 49 zahlen wählen
und nachdem ich das gemacht hab, nur noch aus 48 wählen
und dann 47, 46, 45, 44
sieht bisher aus, wie beim 100m-lauf, doch wird sich
dadurch unterscheiden, d-ss es nicht darum geht
in welcher reihenfolge wann welches kreuz entsteht
und für jeweils 6 zahlen gibt’s ja immer 6 fakultät
permutationen, bei denen der gleiche lottoschein entsteht

doch da es uns ja hier nur um verschiedene lottoscheine geht
dividieren wir das ganze jetzt mit 6 fakultät
und kommen dadurch insgesamt auf dreizehn millionen
neunhundert dreiundachtzig tausend achthundert sechzehn kombinationen
also, d-ss man 6 richtige trifft
ist zwar möglich, aber wahrscheinlich ist das nicht
und jetzt wird noch allgemein die formel bestimmt
wenn man aus n elementen genau k heraus nimmt

und wir wissen schon: wenn es da um die reihenfolge geht
ist das n fakultät durch n minus k fakultät
doch ist die reihenfolge egal, kann man für jede möglichkeiten mit ihren k fakultät permutationen dividieren
und diese formel braucht man immer wieder und man nennt
das hier auch n über k – den binomialkoeffizient
und ich würd sagen, wenn man bis hier alles versteht
sind für die kombinatorik jetzt gute grundlagen gelegt

- dorfuchs lyrics

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